برای حل معادلات شامل قدرمطلق یک روش کلی وجود دارد و آن هم تعیین علامت است. این روش در هر حالتی جواب می‌دهد. اشکال این روش در زمانبر بودن آن و نیاز به دقت زیاد در حل است.
به همین دلیل در اینجا تعدادی روش دیگر هم گفته می‌شود که در شرایط خاص کار حل معادله قدرمطلقی را آسان می‌کنند.
پیش از مطالعه این روش‌های باید با مفهوم قدرمطلق و خواص آن آشنا باشید.
حل معادله قدرمطلق با تعیین علامت
مراحل این روش به شرح زیر است:
مرحله اول: ابتدا ریشه‌های همه عباراتی که درون قدرمطلق هستند را تعیین می‌کنیم.
مرحله دوم: با توجه به ریشه‌های به دست آمده، تمامی عبارات را تعیین علامت می‌کنیم.
مرحله سوم: در هر بازه، با توجه به علامات هر عبارت، قدرمطلق آن را حذف می‌کنیم. در صورتی که مثبت باشد، خود عبارت و در صورتی که منفی باشد، قرینه آن را می‌گذاریم.
مرحله چهارم: معادله بدون قدرمطلق به دست آمده را حل می‌کنیم.
مرحله پنجم: جوابهای به دست آمده باید در بازه مدنظر باشند. اگر هر کدام از جواب‌ها در بازه نبود، آن را در نظر نمی‌گیریم.
مرحله ششم: مراحل سوم، چهارم و پنجم را برای همه بازه‌ها تکرار می‌کنیم.
مثال : معادله \left | x^{2} + x \right | + \left | 3x-9 \right | = x+13 را حل کنید.
ابتدا ریشه‌های عبارات x^{2}+x و 3x-9 را به دست می‌آوریم.
x^{2}+x=0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}x=-1 \\ x=0 \end{matrix}\right.
3x-9 =0 \rightarrow x=3
حال عبارات را تعیین علامت می‌کنیم.
%d8%aa%d8%b9%db%8c%db%8c%d9%86-%d8%b9%d9%84%d8%a7%d9%85%d8%aa-%d8%a8%d8%b1%d8%a7%db%8c-%d8%ad%d9%84-%d9%85%d8%b9%d8%a7%d8%af%d9%84%d9%87-%d9%82%d8%af%d8%b1%d9%85%d8%b7%d9%84%d9%82%db%8c
سپس با توجه به علامت هر بازه، قدرمطلق را حذف می‌کنیم.
x < -1 \rightarrow x^{2}+x-3x+9=x+13 \rightarrow x^{2}-3x-4=0 \rightarrow \rightarrow \left\{\begin{matrix}x=-1\\x=4\end{matrix}\right.
هیچ کدام از دو جواب قابل قبول نیستند زیرا طبق شرط، x باید کوچکتر از ۱- باشد.
-1 \leqslant x <0 \rightarrow -x^{2}-x-3x+9=x+13 \rightarrow -x^{2}-5x-4=0 \rightarrow \rightarrow \left\{\begin{matrix}x=-1\\x=-4\end{matrix}\right.
تنها جواب x=-1 قابل قبول است زیرا در شرط قرار دارد. توجه کنید که در بازه قبلی هم جواب ۱- به دست آمد ولی به دلیل در بازه نبودن رد شد. مسأله اینجاست که وقتی قدرمطلق منفی می‌شود، قرینه کردن آن تفاوتی ایجاد نمی‌کند. یعنی نقاط مرزی را در هر دوبازه میتوانید بگیرید.
0 \leqslant x < 3 \rightarrow x^{2}+x-3x+9=x+13 \rightarrow x^{2}-3x-4=0 \rightarrow \rightarrow \left\{\begin{matrix}x=-1\\x=4\end{matrix}\right.
هیچ کدام از دو جواب در بازه نیستند.
x \geqslant 3 \rightarrow x^{2}+x+3x-9=x+13 \rightarrow x^{2}+3x-22=0 \rightarrow \rightarrow \left\{\begin{matrix}x \approx -6.42 \\ x \approx 3.42\end{matrix}\right.
تنها ۳٫۴۲ در بازه صدق می‌کند.
حل معادله شامل دو عبارت قدرمطلق
اگر دو عبارت قدرمطلقی وجود داشته باشد، میتوان از این روش استفاده کرد. مراحل این روش به صورت زیر است:
مرحله اول: معادله را طوری مرتب کنید که هر طرف فقط و فقط یک عبارت قدر مطلق وجود داشته باشد.
مرحله دوم: با استفاده از قانون \left | x \right | = \left | y \right | \rightarrow x=\left\{\begin{matrix}+y\\ -y\end{matrix}\right. عبارت را به دو معادله تبدیل کنید و آنها را حل کنید.
مرحله سوم: جواب نهایی معادله، اجتماع جوابهای دو معادله مرحله دوم است.
مثال: معادله \left | 3x-1 \right |=\left | 2x+4 \right | را حل کنید.
\left | 3x-1 \right |=\left | 2x+4 \right | \rightarrow \left\{\begin{matrix}3x-1=2x+4 \rightarrow x=5\\ 3x-1=-2x-4 \rightarrow x=-\frac{3}{5}\end{matrix}\right.
به توان رساندن
در صورتی که طرفین معادله قدر مطلقی مثبت باشند، میتوان آن را به توان دو رساند. زیرا می‌دانیم که:
\left | x \right |^2 = x^2
بنابراین با به توان رساندن، قدر مطلق حذف می‌شود. فقط باید حواسمان باشد که به معادله پیچیده‌تری نرسیم.
مثال: معادله \left | x-2 \right |-\sqrt{x}=0 را حل کنید.
اگر معادله را به صورت زیر بنویسیم، هر دو طرف مثبت می‌شوند:
\left | x-2 \right | = \sqrt{x} \rightarrow (\left | x-2 \right |)^{2} = (\sqrt{x})^{2} \rightarrow x^{2}-4x+4 = x \rightarrow x^{2}-5x+4=0 \rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ x=4\end{matrix}\right.
البته باید یادآوری کنیم که برای حل هر معادله همواره میتوان نمودار هم رسم کرد. برای آشنایی با رسم نمودار قدرمطلق به این لینک رجوع کنید.
- ۹۶/۱۰/۲۶